Statistica I

Esame 21 Giugno 2021

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Affiliation

Tommaso Rigon

DEMS

Domande preliminari

Le domande preliminari sono omesse.

Esercizio 1

La seguente tabella descrive la dimensione di n = 895 gruppi criminali di Chicago, relative all’anno 1927, in forma raggruppata.

Numero di membri Frequenza assoluta
(3, 5] 37
(5, 10] 198
(10, 15] 191
(15, 20] 149
(20, 25] 79
(25, 30] 46
(30, 40] 55
(40, 50] 51
(50, 75] 26
(75, 100] 25
(100, 200] 25
(200, 500] 11
(500, 1000] 2

  1. (Teoria). Si dimostri che la somma degli scarti dalla media è pari a zero.

  2. Si ottengano le frequenze relative e le frequenze relative cumulate della variabile numeri di membri.

  3. Si calcoli il valore della funzione di ripartizione empirica della variabile numeri di membri nel valore 75.

  4. Si ottenga un’approssimazione della media aritmetica per la variabile numero di membri.

  5. Si ottenga un’approssimazione del primo, del secondo e del terzo quartile, per la variabile numero di membri.

  6. Si calcoli un opportuno indice di asimmetria per la variabile numero di membri e si dica se tale variabile risulta essere simmetrica o meno.

  7. Il corpo di polizia di Chicago vuole togliere dalle strade della città i gruppi criminali più influenti, ovvero tutti i gruppi aventi un numero di membri maggiore o uguale di 300. Si fornisca un’approssimazione del numero di bande criminali coinvolte in questa operazione.

Esercizio 2

Per un insieme di n = 567 donne è stato registrato il numero di cicli mestruali necessari prima di rimanere incinte. Le donne sono divise in due gruppi: fumatrici e non fumatrici. I dati sono riportati nella tabella sottostante.

# cicli # donne fumatrici # donne non fumatrici
1 29 198
2 16 107
3 17 55
4 4 38
5 3 18
6 9 22
7 4 7
8 5 9
9 1 5
10 1 3
11 1 6
12 3 6

  1. (Teoria). Si dimostri che la somma degli scarti quadratici da una costante è minima se e solo se la costante è posta uguale alla media.

  2. Si ottengano le medie aritmetiche di entrambi i gruppi. Quale dei due gruppi presenta un numero di cicli minore?

  3. Si ottengano e si confrontino i boxplot di entrambi gruppi. Ci sono delle differenze tra le due distribuzioni? Sono presenti outlier?

  4. Si ottengano le devianze e le varianze di entrambi i gruppi. Uno dei due gruppi presenta una variabilità maggiore? Se si, quale?

  5. Si calcolino la devianza tra i gruppi, la devianza entro i gruppi e la devianza totale. Possiamo affermare che le medie dei gruppi differiscono in maniera significativa? Si calcoli un indice adeguato a supporto della risposta.

Esercizio 3

Siano x_1,\dots,x_n per i=1,\dots,n dei dati a valori positivi. Inoltre, sia \alpha \in \mathbb{R} un numero reale. Si consideri il seguente indice

\bar{x}_\alpha = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^\alpha\right)^{1/\alpha}, che viene solitamente chiamato “media potenziata” di ordine \alpha.

  1. Si dica a cosa corrisponde il caso \alpha = -1. Si ottenga poi il limite \lim_{\alpha \rightarrow 0} \bar{x}_\alpha: corrisponde ad una media nota?

  2. Le medie potenziate costituiscono un caso particolare delle medie di Bonferroni? Si motivi la risposta.

  3. Si dimostri che vale la seguente relazione: \bar{x}_1 \le \bar{x}_2.