Statistica I

Esame 28 Gennaio 2021

Author
Affiliation

Tommaso Rigon

DEMS

Domande preliminari

Le domande preliminari sono omesse.

Esercizio 1

La seguente tabella descrive le altezze (in cm) di un campione di donne del Bangladesh, in forma raggruppata.

Altezza Frequenza assoluta
(135, 140] 71
(140, 143] 137
(143, 145] 154
(145, 147] 199
(147, 150] 279
(150, 153] 221
(153, 155] 94
(155, 157] 51
(157, 160] 37

  1. (Teoria). Si dia la definizione di funzione di ripartizione empirica.

  2. Si ottengano le frequenze relative e le frequenze relative cumulate.

  3. Si calcoli il valore della funzione di ripartizione empirica della variabile altezza nel punto 143.

  4. Si disegni l’istogramma per la variabile altezza, utilizzando le classi fornite nella tabella. Si noti che le classi non sono equispaziate.

  5. Si identifichi la classe modale per la variabile altezza.

  6. Si ottenga un’approssimazione della media aritmetica per la variabile altezza.

  7. Si ottenga un’approssimazione della primo, del secondo e del terzo quartile, per la variabile altezza.

Esercizio 2

In Australia il sistema internazionale di unità di misura è stato adottato nel 1966. Poco dopo la sua introduzione, ad un gruppo (A) di n_A = 24 studenti è stato chiesto di indovinare la larghezza dell’aula in cui erano seduti, esprimendola in metri ed arrotondando il valore all’intero più vicino. Le stime del primo gruppo di studenti sono le seguenti:

## 8 9 10 10 10 11 11 11 12 13 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 20 22 25

Ad un secondo gruppo (B) di n_B = 22 studenti è stata posta la stessa domanda, chiedendo tuttavia di esprimere la stima in piedi, arrotondando all’intero più vicino. Le stime del secondo gruppo di studenti sono le seguenti:

## 30 30 32 32 33 34 35 35 36 40 40 42 43 43 44 45 48 49 50 54 55 55

La relazione tra piedi e metri è la seguente: (\text{piedi}) = 3.28084 (\text{metri}). È inoltre noto che la vera larghezza dell’aula è di 13.1 metri, equivalenti a 42.979 piedi.

  1. (Teoria). Si dimostri che la media di una trasformazione lineare coincide con la trasformazione lineare della media.

  2. Si ottengano le medie aritmetiche di entrambi i gruppi, espresse in metri. Quale dei due gruppi sembra fornire una stima della larghezza dell’aula più prossima al valore vero?

  1. Si ottengano le devianze e le varianze di entrambi i gruppi, espresse in metri quadrati. Uno dei due gruppi presenta una variabilità maggiore? Se si, quale?

  2. Si enunci il teorema di decomposizione della devianza, definendo tutte le quantità coinvolte. Si calcolino quindi: la devianza tra i gruppi, la devianza entro i gruppi e la devianza totale.

  1. Possiamo affermare che le medie dei gruppi differiscono in maniera significativa? Si calcoli un indice adeguato a supporto della risposta.

Esercizio 3

Siano (x_i,y_i) per i=1,\dots,n delle coppie di dati a valori positivi. Si consideri il seguente modello lineare

y_i = \beta x_i + \epsilon_i, \qquad i=1,\dots,n, dove \beta è un parametro ignoto mentre \epsilon_i è un termine di errore.

  1. In cosa differisce questo modello rispetto al modello di regressione lineare semplice? Si discutano vantaggi e svantaggi del primo rispetto al secondo.

  2. Si utilizzi il criterio dei minimi quadrati per identificare un valore “ottimale” per \beta.

  3. Se x = 0 a quanto è pari il valore previsto per la variabile risposta?