Statistica I

Esercitazione 1: distribuzioni di frequenza

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Tommaso Rigon

Università degli Studi di Milano-Bicocca

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Diametro degli abeti rossi

Il diametro del fusto di una pianta viene misurato attraverso uno strumento chiamato “Cavalletto”. La misura viene effettuata tenendo il cavalletto in posizione perpendicolare al fusto ad una altezza dal terreno di circa 1.30 m, con una precisione non superiore a 1 cm.

Nell’autunno del 1999 sono stati misurati i diametri di n = 1887 abeti rossi presenti in una zona boschiva a San Vito di Cadore. Le misure sono elencate nella tabella seguente, in cui D = Diametro, n_j = frequenze assolute.

D n_j D n_j D n_j D n_j D n_j D n_j
18 21 28 43 38 45 48 38 58 17 68 7
19 47 29 48 39 41 49 26 59 23 69 1
20 34 30 51 40 43 50 31 60 12 70 5
21 69 31 65 41 49 51 46 61 14 71 0
22 74 32 76 42 45 52 48 62 10 72 6
23 52 33 64 43 42 53 23 63 11 73 9
24 46 34 72 44 39 54 39 64 4 74 0
25 28 35 33 45 40 55 30 65 3 75 4
26 49 36 32 46 47 56 29 66 0 76 0
27 40 37 59 47 35 57 16 67 4 77 2

Domande

  1. Qual è l’unità statistica di questo problema? Qual è la numerosità campionaria?

  2. Per i dati riferiti al diametro del fusto si è soliti sintetizzare l’informazione in classi di 5 cm. Si costruisca tale tabella, usando pertanto gli intervalli (17, 22], (22,27], \dots, (72,77]. Si ottengano:

    1. le frequenze assolute,
    2. le frequenze relative,
    3. le frequenze cumulate assolute e relative.

  3. Si disegni l’istogramma dei dati utilizzando gli intervalli del punto precedente.

  4. Si faccia un disegno (anche approssimativo) della funzione di ripartizione.

  5. Quanto vale la funzione di ripartizione calcolata in 52, ovvero F(52)?

  6. Quanti sono gli alberi aventi diametro più piccolo di 42.5 cm?

Le tabelle ed i grafici che seguono sono un supporto alla soluzione e non costituiscono la soluzione completa.

Classe Frequenze assolute Frequenze relative Frequenze cumulate assolute Frequenze cumulate relative
(17,22] 245 0.130 245 0.130
(22,27] 215 0.114 460 0.244
(27,32] 283 0.150 743 0.394
(32,37] 260 0.138 1003 0.532
(37,42] 223 0.118 1226 0.650
(42,47] 203 0.108 1429 0.757
(47,52] 189 0.100 1618 0.857
(52,57] 137 0.073 1755 0.930
(57,62] 76 0.040 1831 0.970
(62,67] 22 0.012 1853 0.982
(67,72] 19 0.010 1872 0.992
(72,77] 15 0.008 1887 1.000

La velocità della luce

Simon Newcomb ha misurato nel 1882 la velocità della luce. Nello specifico, Newcomb ha misurato il tempo necessario alla luce per percorrere una distanza di 7442 metri. Newcomb ha ripetuto l’esperimento n = 66 volte.

Dati Newcomb

I dati x_1,\dots,x_{66} rappresentano le misurazioni della velocità della luce espresse in microsecondi. I dati sono elencanti qui di seguito, raggruppati in colonne per semplicità espositiva.

1 2 3 4 5 6
24.828 24.822 24.836 24.826 24.828 24.828
24.826 24.824 24.832 24.830 24.827 24.824
24.833 24.821 24.836 24.832 24.831 24.825
24.824 24.825 24.828 24.836 24.827 24.832
24.834 24.830 24.825 24.826 24.826 24.825
24.756 24.823 24.821 24.830 24.833 24.829
24.827 24.829 24.828 24.822 24.826 24.827
24.816 24.831 24.829 24.836 24.832 24.828
24.840 24.819 24.837 24.823 24.832 24.829
24.798 24.824 24.825 24.827 24.824 24.816
24.829 24.820 24.828 24.827 24.839 24.823

Risulta comodo cambiare la scale dei dati, per semplificarne la loro analisi. In particolare, consideriamo le differenze da 24.8 microsecondi ed esprimiamo queste deviazioni in nanosecondi. In simboli, vogliamo ottenere

y_i= 1000 \times (x_i - 24.8), \qquad i=1,\dots,66. I dati y_1,\dots,y_{66} espressi nella scala trasformata sono quindi pari a:

1 2 3 4 5 6
28 22 36 26 28 28
26 24 32 30 27 24
33 21 36 32 31 25
24 25 28 36 27 32
34 30 25 26 26 25
-44 23 21 30 33 29
27 29 28 22 26 27
16 31 29 36 32 28
40 19 37 23 32 29
-2 24 25 27 24 16
29 20 28 27 39 23

Curiosità. Sulla base delle recenti misurazioni, il “vero valore” della velocità della luce nella scala trasformata è 33.0.

Domande

  1. Si ottenga il minimo ed il massimo delle misurazioni di Newcomb nella scala trasformata y_1,\dots,y_{66}.

  2. Si costruisca una tabella per la scala trasformata, utilizzando gli intervalli (-50, -40], (-40,-30], \dots, (30,40]. Si ottengano quindi: i) le frequenze assolute, ii) le frequenze relative, iii)-iv) le frequenze cumulate assolute e relative.

  3. Nella scala trasformata, si calcoli la frazione di misurazioni contemporaneamente maggiore di 20 e minore o uguale di 30.

  4. Nella scala trasformata, si ottenga un istogramma usando gli intervalli (-50, -40], (-40,-30], \dots, (30,40].

  5. Si ottenga un grafico approssimativo della funzione di ripartizione nella scala originale ed in quella trasformata. Si commentino i risultati.

Le tabelle ed i grafici che seguono sono un supporto alla soluzione e non costituiscono la soluzione completa.

Minimo e massimo

Il minimo vale -44, il massimo vale 40.

Tabelle e grafici

Classe Frequenze assolute Frequenze relative Frequenze cumulate assolute Frequenze cumulate relative
(-50,-40] 1 0.015 1 0.015
(-40,-30] 0 0.000 1 0.015
(-30,-20] 0 0.000 1 0.015
(-20,-10] 0 0.000 1 0.015
(-10,0] 1 0.015 2 0.030
(0,10] 0 0.000 2 0.030
(10,20] 4 0.061 6 0.091
(20,30] 43 0.652 49 0.742
(30,40] 17 0.258 66 1.000