Statistica I

Esercizi 6: analisi della varianza

Autore/Autrice
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Tommaso Rigon

Università degli Studi di Milano-Bicocca

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Alcune delle seguenti soluzioni sono state gentilmente fornite dal tutor di Statistica I dell’A.A. 2021/2022, Alex Alborghetti, che ringrazio. Le soluzioni sono state quindi riviste dal docente, che si assume le responsabilità di eventuali sviste ed errori.

Esercizio A

Un certo gruppo di polli e stato suddiviso casualmente in tre gruppi. Successivamente i tre gruppi sono stati alimentati con tre diete differenti, chiamate A, B, C. Siamo interessati alla variabile x_j, per j=1,\dots,3, ovvero gli incrementi di peso dopo 6 settimane in ciascuna dieta. Alcuni dati di sintesi sono riportati nella seguente tabella:

Dieta Numero di polli \bar{x}_j \sigma^2_j
A 14 218.8 2728.6
B 9 246.4 2930.0
C 10 328.9 2385.1

I pesi sono stati rilevati in grammi.

  1. Quanto vale la varianza totale?

  2. Quantificare la “correlazione” la variabili dieta ed incremento del peso.

È noto, dalla scomposizione della devianza totale, che vale la seguente relazione:

\mathcal{D}^2 = \underbrace{\sum_{j = 1}^k \sum_{i = 1}^{n_j}(x_{ij}-\bar{x}_j)^2}_{\mathcal{D}^2_\text{en}} + \underbrace{\sum_{j=1}^kn_j(\bar{x}_j-\bar{x})^2}_{\mathcal{D}^2_\text{tr}},

Evidentemente, dividendo per n entrambi i membri, la scomposizione risulta valida anche per le varianze. Calcoliamo quindi le due varianze e sommiamole. Abbiamo già a disposizione le varianze di ciascun gruppo, dunque si può dimostrare che:

\sigma^2_{\text{en}} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^k n_j\sigma_j^2 = 2679.4.

Per quanto riguarda la varianza tra i gruppi, calcoliamo anzitutto la media, si dimostri che vale la seguente relazione:

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^k n_j\bar{x}_j= 259.7.

Allora, la varianza tra i gruppi vale:

\sigma^2_{\text{tr}} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^kn_j(\bar{x}_j-\bar{x})^2 = 2209.0.

Pertanto, la varianza totale sarà pari a \sigma^2 = 2679.4 + 2209.0 = 4888.4. I risultati sono arrotondati al primo decimale.

Per calcolare la “correlazione” tra dieta e incremento del peso utilizziamo l’indice \eta^2, definito come:

\eta^2 = 1 - \frac{\text{devianza entro i gruppi}}{\text{devianza totale}}.

Si può dimostrare (lo si faccia per esercizio) che tale indice è equivalente al complemento ad uno del rapporto tra varianza entro i gruppi e varianza totale. Allora, con i nostri dati:

\eta^2 = 1 - 2679.4/(2679.4+2209.0) = 0.45.

C’è quindi una moderata “correlazione” tra le due variabili. Il risultato è stato arrotondato a due decimali.

Esercizio B

Durante una sperimentazione clinica, un gruppo di pazienti è stato suddiviso in tre sotto-gruppi: il primo, di 5 pazienti, comprendente i pazienti con età tra i 20 e i 40 anni; il secondo, di 5, tra i 40 e 60 ed il terzo, di tre pazienti, con 60 o più anni.

Per tutti i pazienti è stato rilevato il tempo di reazione all’inoculazione di un farmaco. I risultati, in minuti, sono rappresentati dai seguenti valori (nell’ordine per i gruppi A, B, C): 76, 52, 178, 113, 83, 80, 124, 46, 88, 36, 94, 51, 74.

  1. Si valutino il tempo medio e la varianza dei tempi di reazione per i tre gruppi.

  2. Si valuti la frazione di varianza spiegata dai gruppi.

Le medie e le varianze dei tempi di reazione di ciascun gruppo sono state calcolate e vengono riassunte nella tabella seguente:

Gruppo \bar{x}_j \sigma^2_j
20-40 100.4 1884.2
40-60 74.8 991.4
60+ 73 308.7

(i risultati sono arrotondati al primo decimale).

La varianza tra i gruppi è interpretabile come la varianza spiegata dalle medie. La media totale è pari a \bar{x} = 84.2, allora:

\sigma^2_\text{tr} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^kn_j(\bar{x}_j-\bar{x})^2 = 163.9.

Considerato che a varianza totale è pari a \sigma^2 = (1/n) \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 = 1341.102, la proporzione di varianza spiegata è circa del 12.2\%.

Esercizio C

I dati riportati nella tabella che segue fanno riferimento a un esperimento in cui a 15 cavie è stata somministrata una stessa quantità di un veleno. Le cavie sono state poi suddivise casualmente in 3 gruppi (di numerosità diverse) e ciascun gruppo è stato sottoposto a un trattamento.

Alle cavie del primo gruppo è stato somministrato l’antidoto A, a quelle del secondo l’antidoto B e a quelle del terzo l’antidoto C. Per ciascuna cavia si è quindi misurato, in decine di ore, il tempo di sopravvivenza.

Trattamento (Antidoto) 1 2 3 4 5 6 7 8
A 0.22 0.14 0.44 0.59
B 2.80 3.60 2.80
C 1.70 2.00 1.52 2.60 1.67 1.90 0.82 1.90

Scopo dell’esperimento è stabilire se i tre antidoti hanno la stessa efficacia. Si quantifichi quindi la dipendenza in media dei tempi di sopravvivenza dal tipo di antidoto.

Per comodità, vengono calcolate e riassunte nella seguente tabella alcune quantità utili:

Gruppo \bar{x}_j \sigma^2_j
A 0.35 0.03
B 3.07 0.14
C 1.76 0.22

I risultati sono stati arrotondati a due decimali. La dipendenza in media si misura tramite l’indice \eta, cioè il complemento ad uno del rapporto tra la varianza entro i gruppi e la varianza totale. La varianza entro i gruppi può essere calcolata come segue:

\sigma^2_\text{en} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^k n_j\sigma_j^2 = 0.15.

Per il calcolo della varianza totale, utilizziamo la definizione: \sigma^2 = (1/n) \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 = 1.01, con \bar{x} = 1.65. I risultati sono arrotondati a due decimali. In conclusione, possiamo dire che i tre antidoti non sembrano avere la stessa efficacia, dato che:

\eta^2 = 1 - 0.15/1.01 = 0.85.