Statistica I

Esercitazione 7: tabelle di contingenza

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Tommaso Rigon

Università degli Studi di Milano-Bicocca

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Un nuovo indice di connessione?

Si consideri il seguente indice:

\sum_{i=1}^h\sum_{j=1}^k (\text{contingenza}_{ij}) = \sum_{i=1}^h\sum_{j=1}^k (n_{ij} - \hat{n}_{ij}). Si spieghi come mai tale indice non è affatto appropriato per misurare la dipendenza tra due variabili.

Vitamina C e crescita dei maiali

Per verificare l’effetto della vitamina C sull’accrescimento dei maiali, a n = 30 maiali sono state somministrate dalla nascita dosi diverse di acido ascorbico. Ad una età prefissata è stata poi misurata la lunghezza media dei denti (usata come una misura della crescita).

I dati sono i seguenti:

lunghezza dose
15.2 0.5
21.5 0.5
17.6 0.5
9.7 0.5
14.5 0.5
10.0 0.5
8.2 0.5
9.4 0.5
16.5 0.5
9.7 0.5
lunghezza dose
19.7 1
23.3 1
23.6 1
26.4 1
20.0 1
25.2 1
25.8 1
21.2 1
14.5 1
27.3 1
lunghezza dose
25.5 2
26.4 2
22.4 2
24.5 2
24.8 2
30.9 2
26.4 2
27.3 2
29.4 2
23.0 2

Ad esempio, il primo maiale coinvolto nello studio ha ricevuto una dose di 5mg di vitamina C al giorno e, al controllo, la lunghezza media dei suoi denti era di 15.2mm.

  1. Si costruisca la tabella di contingenza congiunta e si dica se esiste o non esiste indipendenza in distribuzione utilizzando l’indice \chi^2.

  2. Si calcolino le medie della lunghezza condizionate alla dose. Si dica se esiste dipendenza in media. Si ottenga il rapporto di correlazione \eta^2.

  3. Si determini la retta di regressione e la si disegni tramite grafico opportuno assieme ai dati. Si ottenga l’indice di bontà d’adattamento R^2 e il coefficiente di correlazione \rho.

In primo luogo, otteniamo la tabella di contingenza richiesta.

0.5 1 2 Totale
8.2 1 0 0 1
9.4 1 0 0 1
9.7 2 0 0 2
10 1 0 0 1
14.5 1 1 0 2
15.2 1 0 0 1
16.5 1 0 0 1
17.6 1 0 0 1
19.7 0 1 0 1
20 0 1 0 1
21.2 0 1 0 1
21.5 1 0 0 1
0.5 1 2 Totale
22.4 0 0 1 1
23 0 0 1 1
23.3 0 1 0 1
23.6 0 1 0 1
24.5 0 0 1 1
24.8 0 0 1 1
25.2 0 1 0 1
25.5 0 0 1 1
25.8 0 1 0 1
26.4 0 1 2 3
27.3 0 1 1 2
29.4 0 0 1 1
30.9 0 0 1 1

La tabella delle frequenze attese è invece pari a

0.5 1 2 Totale
8.2 0.33 0.33 0.33 1
9.4 0.33 0.33 0.33 1
9.7 0.67 0.67 0.67 2
10 0.33 0.33 0.33 1
14.5 0.67 0.67 0.67 2
15.2 0.33 0.33 0.33 1
16.5 0.33 0.33 0.33 1
17.6 0.33 0.33 0.33 1
19.7 0.33 0.33 0.33 1
20 0.33 0.33 0.33 1
21.2 0.33 0.33 0.33 1
21.5 0.33 0.33 0.33 1
0.5 1 2 Totale
22.4 0.33 0.33 0.33 1
23 0.33 0.33 0.33 1
23.3 0.33 0.33 0.33 1
23.6 0.33 0.33 0.33 1
24.5 0.33 0.33 0.33 1
24.8 0.33 0.33 0.33 1
25.2 0.33 0.33 0.33 1
25.5 0.33 0.33 0.33 1
25.8 0.33 0.33 0.33 1
26.4 1.00 1.00 1.00 3
27.3 0.67 0.67 0.67 2
29.4 0.33 0.33 0.33 1
30.9 0.33 0.33 0.33 1

Pertanto si ottiene che

\chi^2 = \frac{(1 - 0.3333)^2}{0.3333} + \frac{(0 - 0.3333)^2}{0.3333} + \cdots + \frac{(1 - 0.3333)^2}{0.3333} = 50. Di conseguenza, l’indice di connessione normalizzato è

\chi^2_\text{norm} = \frac{50}{30 \min\{25 - 1, 3 - 1\}} = \frac{50}{60} = 0.83333.

Otteniamo ora la tabella delle media e varianze condizionate

Numerosità Media Varianza Devianza
0.5 10 13.23 17.9001 179.001
1 10 22.70 13.7660 137.660
2 10 26.06 6.3444 63.444

Si noti che la media complessiva è pari a \bar{y} = 20.66333. Da questa tabella è quindi agevole calcolare la devianza tra i gruppi e la devianza entro i gruppi, ottenendo:

\mathscr{D}_\text{tr}^2 = 10(13.23 - 20.66)^2 + 10(22.70 - 20.66)^2 + 10(26.06 - 20.66)^2= 885.265. Inoltre, la devianza entro i gruppi è pari a

\mathscr{D}^2_\text{en} = 179.001 + 137.660 + 63.444 = 380.105, da cui si ottiene che \mathscr{D}^2 = 885.265 + 380.105 = 1265.37. Il rapporto di correlazione è pertanto pari a \eta^2 = \frac{\mathscr{D}_\text{tr}^2}{\mathscr{D}^2} = \frac{885.265}{1265.37} = 0.699.

Otteniamo in primo luogo alcune quantità di interesse:

\sum_{i=1}^nx_iy_i = 814.35, \qquad \sum_{i=1}^n x_i^2 = 52.5, \qquad \sum_{i=1}^ny_i^2 = 14074.57,

Inoltre, è possibile calcolare le medie aritmetiche delle due variabili precedenti:

\bar{x} = 1.166667, \qquad \bar{y} = 20.66333.

Dalle precedenti quantità, è possibile ottenere che:

\text{cov}(x,y) = 3.037778, \qquad \text{var}(x) = 0.3888889, \qquad \text{var}(y) = 42.17899.

Di conseguenza, otteniamo che \hat{\beta} = 7.811 e \hat{\alpha} = \bar{y} - 7.8111\bar{x} = 11.550. La retta di regressione è quindi disegnata nel grafico sottostante.

Inoltre, semplici calcoli portano a \rho = 0.75 e quindi R^2 = \rho^2 = 0.5626.