Statistica I

Simulazione d’esame

Autore/Autrice
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Tommaso Rigon

Università degli Studi di Milano-Bicocca

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Esercizio 1

Su 540 dipendenti di un’azienda sono stati rilevati il sesso e i redditi netti dell’anno 2018, in migliaia di euro. I dati sono riportati nella seguente tabella:

22 23 24 25
Maschio 58 48 89 105
Femmina 46 38 71 85

  1. Risulta maggiormente eterogenea la variabile relativa al reddito o quella relativa al sesso?

  2. Le due variabili sono indipendenti in distribuzione?

  3. Le due variabili sono indipendenti in media?

Esercizio 2

Un gruppo di medici ipotizza che assumere alcolici di qualità porti ad una buona condizione di salute cardiovascolare. Per analizzare tale ipotesi, hanno raccolto alcuni dati da un centro di salute pubblica. Per una ventina di persone adulte che si sono presentate a tale centro, è stato misurato il livello di colesterolo.

Come principale variabile di interesse è stato misurato il consumo di cognac in numero medio di bicchierini bevuti a settimana. Nella tabella seguente sono quindi indicati per ciascuna persona il livello di colesterolo (variabile y) ed il consumo di cognac (variabile x).

È inoltre noto che:

\sum_{i=1}^{20} y_i = 6088, \quad \sum_{i=1}^{20} y_i^2 = 1874316, \quad \sum_{i=1}^{20} x_iy_i = 6893.35, \quad \sum_{i=1}^{20} (x_i + y_i)^2 = 1888135.775, e che

\sum_{i=1}^{20} x_i = 23.2, \qquad \sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 33.075, \qquad \sum_{i=1}^{20} x_i^3 = 50.635, \qquad \sum_{i=1}^{20} x_i^4 = 80.7198375

Cognac Colesterolo
0.00 338
0.20 355
0.35 282
0.50 326
0.70 325
0.80 354
1.00 224
1.10 326
1.15 284
1.20 341
1.25 318
1.45 296
1.50 317
1.60 283
1.60 265
1.65 318
1.70 302
1.75 275
1.80 289
1.90 270

  1. Si disegni un opportuno grafico che aiuti a comprendere la relazione tra le due variabili.

  2. Si consideri la variabile colesterolo e se ne descrivano le principali caratteristiche attraverso opportuni indicatori di posizione e variabilità.

  3. Si ottenga la retta ai minimi quadrati per la relazione tra cognac (x) e colesterolo (y), e la si disegni nel grafico ottenuto in precedenza.

  4. Si ottenga un indice di bontà di adattamento ai dati della curva ottenuta e lo si interpreti nel contesto del problema.

  5. Si interpretino le stime dei parametri della curva da voi scelta ottenute dalla procedura ai minimi quadrati. Come si presenta la relazione tra cognac e colesterolo?

  6. L’ipotesi del gruppo di medici è verificata dai dati raccolti? I medici dovrebbero raccomandare di bere cognac ai pazienti con alto colesterolo?

  7. Si ottenga un indice di correlazione tra cognac e colesterolo.

Esercizio 3

Sia x una variabile binaria, ovvero una variabile che può assumere solamente due modalità (0 e 1). La frequenza associata al valore 1 è f_1, mentre quella associata al valore 0 è f_0 = 1 - f_1.

Si calcoli l’indice di curtosi \kappa di Pearson della variabile x in funzione di f_1. Si supponga quindi che f_1 = 0.4 e si dica quanto vale tale indice in questo caso particolare.