Statistica I
Esercizi 2: indici di posizione
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Soluzione di alcuni esercizi
Le seguenti soluzioni sono state gentilmente fornite dal tutor di Statistica I dell’A.A. 2021/2022, Alex Alborghetti, che ringrazio. Le soluzioni sono state quindi riviste dal docente, che si assume le responsabilità di eventuali sviste ed errori.
Esercizio A
È dato il vettore di osservazioni:
x = (-4,5,3,1,-1,3,-1,1,0,3,2) Ricordando la definizione di media aritmetica, si ottiene quindi che: \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i = \frac{-4+5+3+\cdots + 2}{11} = 1.091
Si trova facilmente dalla definizione che \text{Me}(x) = x_{(6)} = 1. Sia f(x) una trasformazione monotona dei dati di partenza, allora \text{Me}(f(x)) = f(\text{Me}(x)).
La media, invece, gode della proprietà di linearità, tale per cui \bar{y} = a + b\bar{x}. Grazie a queste due proprietà, si possono ricavare i seguenti valori:
| y | \text{Me}(y) | \bar{y} |
|---|---|---|
| e^x | e^{\text{Me}(x)} = e^1 = e | - |
| x+4 | \text{Me}(x) + 4 = 5 | \bar{x}+4 = 5.091 |
| -3x+1 | -3 \text{Me}(x) +1=-2 | -3\bar{x}+1 = -2.273 |
| x^2 | - | - |
I tre spazi vuoti della tabella, invece, vanno necessariamente completati trasformando manualmente i dati e calcolando gli indici richiesti.
Si trova che \bar{y} = n^{-1}\sum_{i=1}^n e^{x_i} = 20.295, \text{Me}(x^2) = 4 e \bar{y} = n^{-1}\sum_{i=1}^n x_i^2 = 6.909. I risultati sono stati arrotondati a tre cifre decimali.
Esercizio C
La distanza di un negozio dal magazzino può essere espressa come lo scarto |x_i - a|km, dove x_i è il chilometro al quale si trova il negozio, mentre a è il chilometro al quale si trova il magazzino.
Si deve individuare quel valore a tale per cui il doppio (andata e ritorno) della somma di questi scarti viene minimizzata. Il valore a deve, pertanto, corrispondere alla mediana, che vale 134.
La distanza totale percorsa per rifornire tutti e cinque i negozi è pari a 1178km. Se avessimo posizionato il magazzino sul chilometro pari alla media, che vale 200.2km, avremmo dovuto percorrere 1319.2km.
Esercizio D
Una tipica approssimazione della media, quando i dati sono suddivisi in classi, è la seguente: \bar{x} \approx \frac{1}{n} \sum_{j=1}^k n_jm_j, dove m_j è il punto centrale del j-esimo intervallo ed n_j è la sua frequenza assoluta.
| Classe | Freq. cumulata | Freq. Assoluta |
|---|---|---|
| (249, 250] | 0 | 0 |
| (250, 251] | 15 | 15 |
| (251, 252] | 42 | 42 - 15 = 27 |
| (252, 253] | 60 | 60 - 42 = 18 |
| (253, 254] | 70 | 70 - 60 = 10 |
| (254, 255] | 71 | 71 - 70 = 1 |
Quindi, possiamo calcolare la media come:
\bar{x} \approx \frac{0\cdot249.5+15\cdot250.5+27\cdot251.5+18\cdot252.5+10\cdot253.5+1\cdot254.5}{71} = 251.866.
Invece, una comune approssimazione della mediana quando i dati sono suddivisi in classi è data da: \text{Me}(x) \approx a_{j-1} + (a_j - a_{j-1})\frac{1/2 - F(a_{j-1})}{F(a_{j})-F(a_{j-1})},
dove (a_{j-1}, a_{j}] è la classe alla quale la mediana appartiene ed F(\cdot) è la funzione di ripartizione empirica.
Nel nostro caso, la mediana, ovvero l’osservazione x_{(36)}, appartiene all’intervallo (251,252]. Sappiamo, inoltre, che F(252) = 42/71 = 0.592 e F(251) = 15/71 = 0.211. Sostituendo tutti i valori nella formula, si ricava: \text{Me}(x) \approx 251.759.
Un’approssimazione del primo quartile, quando i dati sono suddivisi in classi, è invece: Q_{0.25} \approx a_{j-1} + (a_j - a_{j-1})\frac{0.25 - F(a_{j-1})}{F(a_{j})-F(a_{j-1})}, dove (a_{j-1}, a_{j}] è la classe alla quale il primo quartile appartiene. Poiché il primo quartile apartiene all’intervallo (251,252], dato che F(252) = 0.592 e F(251) = 0.211, sostituendo questi valori nella formula troviamo che Q_{0.25} \approx 251.102.
L’approssimazione del terzo quartile quando i dati sono suddivisi si ottiene invece tramite la formula: Q_{0.75} \approx a_{j-1} + (a_j - a_{j-1})\frac{0.75 - F(a_{j-1})}{F(a_{j})-F(a_{j-1})}, dove (a_{j-1}, a_{j}] è la classe alla quale il terzo quartile appartiene.
Poiché il terzo quartile appartiene alla classe (252,253] dato che F(252) = 0.592 e F(253) = 60/71 = 0.845, sostituendo nella formula troviamo che Q_{0.75} \approx 252.625.
Esercizio H
La mediana della variabile x vale circa 17. Il primo quartile vale circa 16, il terzo 22.