Esame del 18 Novembre 2025

Statistics III - CdL SSE

Autore/Autrice

Affiliazione

Tommaso Rigon

Università degli Studi di Milano-Bicocca

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Il tempo a disposizione per lo svolgimento della prova è di 2 ore e 30 minuti. Si ricorda di firmare tutti i documenti che si intendono consegnare, indicando nome e numero di matricola.

Il voto finale corrisponde alla media delle due parti, ciascuna valutata su 30 punti. La prova si considera superata solo se si raggiunge la sufficienza (18/30) in entrambe le parti.

Parte I: analisi dei dati

Si considerino i dati beetle della libreria faraway, che contengono 10 osservazioni relative a dei coleotteri dei cereali (grain beetles), i quali sono stati esposti all’ossido di etilene, una sostanza tossica. Le variabili presenti sono:

• conc: concentrazione di ossido di etilene in mg/l;
• affected: numero di coleotteri deceduti;
• exposed: numero totale di coleotteri.

Facendo uso del software R, si rispondano alle seguenti domande:

1. Si costruisca un grafico che riporti l’andamento della proporzione di decessi al variare di conc (senza riportarlo). Si commentino i risultati.

2. Si stimi un GLM opportuno, usando il legame canonico, avente come variabile risposta la proporzione di decessi (affected / exposed) e come variabile esplicativa conc. Si riportino:

   1. L’equazione che esprime la risposta media stimata in funzione delle variabili esplicative (equazione del modello stimato), riportando i valori della stima di massima verosimiglianza.
      
   2. Il valore delle statistiche test e i p-value dei test di Wald e di log-rapporto di verosimiglianza per confrontare il modello stimato con il modello nullo. Si riportino il sistema d’ipotesi e si giustifichino i gradi di libertà delle statistiche test. Infine, si commentino i risultati.

3. Si ottenga il grafico della curva stimata sovrapposta ai punti osservati (senza riportarlo). Il range della variabile esplicativa deve essere (10, 25). Si commentino i risultati.

4. Si individuino le unità statistiche che sono al contempo punti leva e potenzialmente “anomale” (outlier) chiarendo quali indici / grafici sono stati usati allo scopo.

5. Si fornisca un’interpretazione della stima del coefficiente della variabile esplicativa conc e si valuti se tale interpretazione è coerente con i commenti ai grafici dei punti (a) e (c).

6. Si riporti la previsione per la probabilità di decesso in corrispondenza della concentrazione conc = 15. Si riporti inoltre un intervallo di confidenza.

7. Si verifichi se è presente sovradispersione. In caso affermativo, si provi a trattarla tramite una quasi-verosimiglianza e si commentino i risultati ottenuti.

8. Si riporti un intervallo di confidenza per la stessa quantità calcolata al punto (f), basato su una quasi-verosimiglianza. Si commentino i risultati.

Parte II: teoria ed esercizi

Problema 1

Sia Y una variabile aleatoria di Poisson di media \lambda, la cui funzione di probabilità è

p(y ; \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^y}{y!}, \qquad y = 0,1,2,\dots, \qquad \lambda > 0. Si mostri che questa distribuzione appartiene alla famiglia a dispersione esponenziale e si descrivano (svolgendo tutti i passaggi) le sue caratteristiche, cioè il parametro naturale, l’eventuale parametro di dispersione, le funzioni a_i(\cdot), b(\cdot), c(\cdot), la funzione media e la funzione varianza.

Problema 2

Si riporti, senza ricalcolarla da zero, l’equazione di aggiornamento per i pesi \beta^{(t+1)} all’iterazione t dell’algoritmo IRLS, definendo tutte le quantità coinvolte. Si spieghi perché questo algoritmo viene chiamato dei “minimi quadrati iterati pesati”.

Problema 3

Si illustri il concetto di devianza nell’ambito dei GLM e se ne illustri l’utilizzo al fine di confrontare due GLM annidati.