Esame del 10 Febbraio 2026

Statistics III - CdL SSE

Autore/Autrice
Affiliazione

Tommaso Rigon

Università degli Studi di Milano-Bicocca

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Il tempo a disposizione per lo svolgimento della prova è di 2 ore e 30 minuti. Si ricorda di firmare tutti i documenti che si intendono consegnare, indicando nome e numero di matricola.

Il voto finale corrisponde alla media delle due parti, ciascuna valutata su 30 punti. La prova si considera superata solo se si raggiunge la sufficienza (18/30) in entrambe le parti.

Parte I: analisi dei dati

Si considerino i dati Default della libreria ISLR2, che contengono informazioni su 10 000 clienti di una banca, alcuni dei quali sono risultati insolventi (default = "Yes"). Le variabili presenti sono:

  • default: variabile qualitativa che indica se il cliente è risultato insolvente (Yes) oppure no (No);
  • student: variabile qualitativa che indica se il cliente è uno studente (Yes) oppure no (No);
  • balance: saldo medio residuo dovuto dal cliente sulla carta di credito, espresso in dollari statunitensi (USD);
  • income: retribuzione annua lorda (RAL) del cliente, espressa in dollari statunitensi (USD).

Facendo uso del software R, si risponda alle seguenti domande.

  1. Si costruiscano due boxplot: nel primo grafico, la variabile balance è raggruppata rispetto a default; nel secondo grafico, la variabile balance è raggruppata rispetto alla variabile student. Si commentino i risultati ottenuti.

  2. Si stimi un modello lineare generalizzato (GLM) opportuno, utilizzando il legame canonico, avente come variabile risposta default e come variabile esplicativa student. Si indichi tale modello con m1. Si riportino:

    1. l’equazione che esprime la risposta media stimata in funzione delle variabili esplicative, riportando i valori delle stime di massima verosimiglianza;
    2. il valore delle statistiche test e i p-value dei test di Wald e di log-rapporto di verosimiglianza per il confronto tra il modello stimato e il modello nullo. Si riportino il sistema di ipotesi e si giustifichino i gradi di libertà delle statistiche test.
    3. Si discuta se l’essere studenti aumenti o diminuisca la probabilità di insolvenza e di quanto, sulla base del modello m1.

  3. Si modifichi il modello m1 aggiungendo anche le variabili income e balance. Si indichi tale modello con m2. Si riportino:

    1. l’equazione che esprime la risposta media stimata in funzione delle variabili esplicative (equazione del modello stimato), riportando i valori delle stime di massima verosimiglianza;
    2. un’interpretazione di tutti i coefficienti stimati. In particolare, l’essere studenti aumenta o diminuisce la probabilità di insolvenza? Di quanto?
    3. Si discuta se l’interpretazione fornita al punto precedente sia coerente con quella ottenuta nel modello m1. Si commenti il risultato e se ne fornisca una giustificazione.

  4. Il modello m2 è preferibile rispetto al modello m1? Si motivi la risposta.

  5. La variabile income può essere rimossa dal modello m2? Si motivi la risposta.

  6. Si riporti la previsione della probabilità di insolvenza in corrispondenza del valore medio della retribuzione (income), per uno studente con balance = 100. Si fornisca inoltre un intervallo di confidenza per tale previsione.

  7. È possibile verificare la presenza di sovradispersione nel modello m2? In caso affermativo, si provi a trattarla mediante un modello a quasi-verosimiglianza e si commentino i risultati ottenuti.

Part2 II: teoria ed esercizi

Problema 1

Cosa si intende per trasformazioni che stabilizzano la varianza? Si discuta il concetto, illustrandolo mediante esempi e richiamando risultati teorici rilevanti.

Problema 2

Sia S una variabile aleatoria binomiale di parametri m \in \mathbb{N} e con probabilità di successo \pi \in (0,1), la cui funzione di probabilità è p(s ; \pi) = \binom{m}{s}\pi^s(1 - \pi)^{m-s}, \qquad s = 0,1,2,\dots,m. Inoltre, sia Y = S / m. Si mostri che Y appartiene alla famiglia a dispersione esponenziale e si descrivano (svolgendo tutti i passaggi) le sue caratteristiche, cioè il parametro naturale, l’eventuale parametro di dispersione, le funzioni a_i(\cdot), b(\cdot), c(\cdot), la funzione media e la funzione varianza.

Problema 3

Nella selezione delle variabili esplicative per un modello lineare generalizzato, che cosa rende inadeguata la strategia di scegliere il modello con la devianza minima?