Esame del 26 Giugno 2026

Statistics III - CdL SSE

Autore/Autrice
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Tommaso Rigon

Università degli Studi di Milano-Bicocca

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Il tempo a disposizione per lo svolgimento della prova è di 2 ore e 30 minuti. Si ricorda di firmare tutti i documenti che si intendono consegnare, indicando nome e numero di matricola.

Il voto finale corrisponde alla media delle due parti, ciascuna valutata su 30 punti. La prova si considera superata solo se si raggiunge la sufficienza (18/30) in entrambe le parti.

Parte I: analisi dei dati

Si considerino i dati warpbreaks di R. Questo insieme di dati riporta il numero di rotture dell’ordito di un telaio per ciascuna esperimento (n = 54 prove), dove ogni esperimento corrisponde a una lunghezza fissa di filato lavorata al telaio. Le variabili presenti sono:

  • breaks: numero di rotture
  • wool: tipologia di lana (A o B)
  • tension: livello di tensione (L = bassa, M = media, H = alta)

Facendo uso del software R, si risponda alle seguenti domande.

  1. Si costruiscano due boxplot: nel primo grafico, la variabile breaks è raggruppata rispetto a wool; nel secondo grafico, la variabile breaks è raggruppata rispetto alla variabile tension. Si commentino i risultati ottenuti.
  1. Si stimi un modello lineare generalizzato (GLM) opportuno, utilizzando il legame canonico, avente come variabile risposta breaks e come variabile esplicative wool and tension. Si indichi tale modello con m1. Si riportino:
    1. l’equazione che esprime la risposta media stimata in funzione delle variabili esplicative, riportando i valori delle stime di massima verosimiglianza;
    2. il valore delle statistiche test e i p-value dei test di Wald, test di Rao (score) e di log-rapporto di verosimiglianza per il confronto tra il modello stimato e il modello nullo. Si riportino il sistema di ipotesi e si giustifichino i gradi di libertà delle statistiche test.
    3. Si discuta in che modo la tensione (tension) ed il tipo di lana (wool) influenzano il numero medio di rotture sulla base del modello m1.
  1. Si modifichi il modello m1 aggiungendo un effetto di interazione tra wool e tension. Si indichi tale modello con m2. Si riportino:
    1. l’equazione che esprime la risposta media stimata in funzione delle variabili esplicative (equazione del modello stimato), riportando i valori delle stime di massima verosimiglianza;
    2. un’interpretazione di tutti i coefficienti stimati. Nello specifico, come cambia l’interpretazione dell’effetto delle variabili tension e wool sul numero medio di rotture, rispetto al modello m1?
  1. Il modello m2 è preferibile rispetto al modello m1? Si motivi la risposta.
  1. Si riporti la previsione del numero medio di rotture (breaks) nel caso in cui wool = A, tension = L per il modello m2. Si fornisca inoltre un intervallo di confidenza per tale previsione.
  1. È possibile verificare la presenza di sovradispersione nel modello m2? In caso affermativo, si provi a trattarla mediante un modello a quasi-verosimiglianza e si commentino i risultati ottenuti.
  1. Si riporti un intervallo di confidenza per la stessa quantità calcolata al punto (e), basato su una quasi-verosimiglianza. Si commentino i risultati.

Parte II: teoria ed esercizi

Problema 1

Omessa, domanda proposta in un esame precedente.

Problema 2

Nel contesto dei GLM, cosa si intende per “legame canonico”? Quali semplificazioni comporta l’uso di tale funzione legame? Si illustri l’argomento anche tramite esempi nei casi della regressione binaria e della regressione di Poisson.

Problema 3

Si supponga che Y_i \sim \text{Bernoulli}(\pi_i) indipendenti e che \text{logit}(\pi_i) = \bm{x}_i^T\beta, dove le covariate sono tutte distinte tra loro e non è quindi possibile raggruppare le osservazioni. Ha senso analizzare il grafico diagnostico fitted vs residuals in questo caso? Come mai?