Esame del 22 Luglio 2026

Statistics III - CdL SSE

Autore/Autrice
Affiliazione

Tommaso Rigon

Università degli Studi di Milano-Bicocca

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Il tempo a disposizione per lo svolgimento della prova è di 2 ore e 30 minuti. Si ricorda di firmare tutti i documenti che si intendono consegnare, indicando nome e numero di matricola.

Il voto finale corrisponde alla media delle due parti, ciascuna valutata su 30 punti. La prova si considera superata solo se si raggiunge la sufficienza (18/30) in entrambe le parti.

Parte I: analisi dei dati

Si considerino i dati worldcup.csv messi a disposizione dal docente, relativi al campionato mondiale di calcio 2026. Ogni partita compare due volte, una per ciascuna delle due squadre coinvolte. La variabile goals di riga corrisponde al numero di gol realizzati da una squadra (attacco, attack_team) contro l’avversaria (difesa, defense_team), per un totale di n = 208 osservazioni, corrispondenti a 104 partite. Le variabili presenti sono:

  • match_id: identificativo della partita
  • attack_team: codice FIFA della squadra in attacco
  • defense_team: codice FIFA della squadra in difesa
  • goals: numero di gol realizzati dalla squadra in attacco
  • attack_ranking: ranking FIFA pre-torneo della squadra in attacco
  • defense_ranking: ranking FIFA pre-torneo della squadra in difesa

Prima di procedere con le analisi, si eseguano i comandi seguenti, che rimuovono dal dataset la squadra di Panama (codice FIFA PAN), sia quando compare in attacco sia quando compare in difesa:

worldcup <- read.csv("../data/worldcup.csv", header = TRUE, sep = ",", stringsAsFactors = TRUE)
worldcup <- worldcup[worldcup$attack_team != "PAN", ]
worldcup <- worldcup[worldcup$defense_team != "PAN", ]

Facendo uso del software R, si risponda quindi alle seguenti domande.

  1. Si stimi un modello lineare generalizzato (GLM) opportuno, utilizzando il legame canonico, avente come variabile risposta goals e come variabili esplicative attack_ranking e defense_ranking. Si indichi tale modello con m1. Si riportino:

    1. la componente casuale, la componente sistematica e la funzione legame del modello;
    2. l’equazione che esprime la risposta media stimata in funzione delle variabili esplicative, riportando i valori delle stime di massima verosimiglianza;
    3. il valore delle statistiche test e i p-value dei test di Wald, test di Rao (score) e di log-rapporto di verosimiglianza per il confronto tra il modello stimato e il modello nullo. Si riportino il sistema di ipotesi e si giustifichino i gradi di libertà delle statistiche test;
    4. si discuta in che modo il ranking della squadra in attacco (attack_ranking) e il ranking della squadra in difesa (defense_ranking) influenzano il numero medio di gol. Si quantifichi in particolare la variazione percentuale del numero medio di gol associata a un peggioramento di 10 posizioni nel ranking della squadra attaccante.

  2. Si stimi un secondo modello, indicato con m2, che sostituisce ai ranking gli effetti specifici di squadra, ossia goals ~ attack_team + defense_team. Si riportino:

    1. l’interpretazione del coefficiente \beta_j associato a attack_team per la j-esima squadra ed il coefficiente \gamma_j associato a defense_team per la j-esima squadra, in cui \beta_1 = \gamma_1 = 0, per j = 1,\dots, J;
    2. le tre squadre con il migliore attacco e le tre con la migliore difesa secondo il modello m2;
    3. si consideri la differenza \beta_j - \gamma_j per la squadra j = 1, \dots, J e se ne fornisca un’interpretazione. Si identifichino le tre squadre con il maggior valore di \beta_j - \gamma_j e si commenti la coerenza di tale graduatoria con il ranking FIFA pre-torneo.

  3. Si giustifichi il fatto che il modello m1 sia annidato nel modello m2, nonostante le variabili esplicative siano formalmente diverse. Si confrontino quindi i due modelli mediante un test di log-rapporto di verosimiglianza, riportando il sistema di ipotesi, il valore della statistica test, i gradi di libertà e la conclusione. Si confrontino inoltre i due modelli mediante AIC e BIC e si commentino eventuali discordanze.

  4. Si consideri un’ipotetica partita tra Francia (FRA, FIFA ranking 3) e Argentina (ARG, FIFA ranking 1).

    1. Si riporti la previsione del numero medio di gol segnati da ciascuna delle due squadre, ossia il “risultato previsto” dell’incontro, sulla base del modello m1. Si ripeta la previsione sulla base del modello m2 e si commentino le eventuali differenze tra i due risultati.
    2. Si costruisca, sulla base del modello m1, un intervallo di previsione di livello 0.95 per il numero medio di gol segnati dalla Francia contro l’Argentina.

  5. Si discuta criticamente la struttura dei dati: ogni partita genera due osservazioni, relative alle due squadre coinvolte. Si argomenti se l’assunzione di indipendenza tra le osservazioni sia plausibile e quali conseguenze possa avere una sua violazione sull’inferenza condotta ai punti precedenti.

Parte II: teoria ed esercizi

Problema 1

Omessa, domanda proposta in un esame precedente.

Problema 2

Omessa, domanda proposta in un esame precedente.

Problema 3

Omessa, domanda proposta in un esame precedente.