Esame del 16 Settembre 2026

Statistics III - CdL SSE

Autore/Autrice
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Tommaso Rigon

Università degli Studi di Milano-Bicocca

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Il tempo a disposizione per lo svolgimento della prova è di 2 ore e 30 minuti. Si ricorda di firmare tutti i documenti che si intendono consegnare, indicando nome e numero di matricola.

Il voto finale corrisponde alla media delle due parti, ciascuna valutata su 30 punti. La prova si considera superata solo se si raggiunge la sufficienza (18/30) in entrambe le parti.

Parte I: analisi dei dati

Si considerino i dati case2001 della libreria Sleuth3, relativi alla spedizione Donner (Donner party). Nel 1846 un gruppo di pionieri partito dall’Illinois e diretto in California tentò una scorciatoia mai percorsa prima e rimase bloccato dalla neve sulla Sierra Nevada per tutto l’inverno. Quando, nell’aprile del 1847, si concluse l’ultima spedizione di soccorso, circa quaranta membri del gruppo erano morti di fame e di freddo. Il dataset contiene informazioni sui n = 45 membri adulti della spedizione (età pari o superiore a 15 anni). Le variabili presenti sono:

  • Age: età in anni;
  • Sex: sesso (Female oppure Male);
  • Status: esito finale (Died oppure Survived).

Prima di procedere con le analisi, si eseguano i comandi seguenti, che creano la variabile binaria survived, pari a 1 se la persona è sopravvissuta e 0 altrimenti:

library(Sleuth3)
donner <- case2001
donner$survived <- ifelse(donner$Status == "Survived", 1, 0)

Facendo uso del software R, si risponda alle seguenti domande.

  1. Si riportino la tabella di contingenza tra Sex e Status e la proporzione di sopravvissuti per ciascun sesso. Si costruisca inoltre un boxplot della variabile Age raggruppata rispetto a Status (senza riportarlo). Si commentino i risultati ottenuti.

  2. Si stimi un modello lineare generalizzato (GLM) opportuno, utilizzando il legame canonico, avente come variabile risposta survived e come variabili esplicative Age e Sex. Si indichi tale modello con m1. Si riportino:

    1. la componente casuale, la componente sistematica e la funzione legame del modello;
    2. l’equazione che esprime la probabilità stimata di sopravvivenza in funzione delle variabili esplicative, riportando i valori delle stime di massima verosimiglianza;
    3. il valore delle statistiche test e i p-value dei test di Wald, test di Rao (score) e di log-rapporto di verosimiglianza per il confronto tra il modello stimato e il modello nullo. Si riportino il sistema di ipotesi e si giustifichino i gradi di libertà delle statistiche test. I tre test forniscono valori sensibilmente diversi? Si commenti questo aspetto;
    4. un’interpretazione dei coefficienti stimati in termini di rapporti di quote (odds ratio). In particolare, si quantifichi di quanto cambiano le quote di sopravvivenza di un uomo rispetto a una donna della stessa età, e l’effetto di un aumento di 10 anni di età a parità di sesso.

  3. Si modifichi il modello m1 aggiungendo un effetto di interazione tra Age e Sex. Si indichi tale modello con m2. Si riportino:

    1. l’equazione del predittore lineare stimato, scritta separatamente per le donne e per gli uomini;
    2. un’interpretazione di tutti i coefficienti stimati. In particolare, come cambia l’effetto dell’età sulla probabilità di sopravvivenza tra uomini e donne, rispetto a quanto emerso nel modello m1?
    3. il grafico delle probabilità di sopravvivenza stimate da m2 in funzione di Age, con una curva per ciascun sesso, sovrapposte ai dati osservati (si abbozzi un grafico approssimativo con carta e penna). Il range della variabile esplicativa deve essere (15, 65). Si commentino i risultati.

  4. Il modello m2 è preferibile rispetto al modello m1? Si risponda confrontando i due modelli mediante il test di Wald e il test di log-rapporto di verosimiglianza, riportando il sistema di ipotesi, il valore delle statistiche test, i gradi di libertà e i p-value. Si confrontino inoltre i due modelli mediante AIC e BIC. Si commentino le eventuali discordanze tra i diversi criteri.

  5. Si riporti la previsione della probabilità di sopravvivenza per una donna di 50 anni, sulla base del modello m1 e sulla base del modello m2. Per entrambe le previsioni si fornisca un intervallo di confidenza di livello 0.95, spiegando come è stato costruito. Si commentino le differenze tra le due previsioni e tra le ampiezze dei due intervalli.

  6. È possibile verificare la presenza di sovradispersione nel modello m1 sulla base della devianza residua o della statistica X^2 di Pearson? Si motivi la risposta.

  7. Si discutano criticamente i risultati ottenuti.

    1. Sulla base dei modelli stimati è lecito concludere che le donne abbiano una maggiore capacità di resistere a condizioni estreme? Si discuta il possibile ruolo di variabili non osservate, come ad esempio il fatto di viaggiare insieme alla propria famiglia oppure da soli.
    2. Sarebbe ragionevole utilizzare il modello m1 per prevedere la probabilità di sopravvivenza di un bambino di 8 anni? Si motivi la risposta.

Parte II: teoria ed esercizi

Problema 1

Si consideri la famiglia di trasformazioni di Box-Cox y^{(\lambda)} = \begin{cases} \displaystyle\frac{y^{\lambda} - 1}{\lambda}, & \lambda \neq 0, \\[2mm] \log{y}, & \lambda = 0,\end{cases} \qquad y > 0, e si assuma che, per un opportuno valore di \lambda, valga il modello lineare Y_i^{(\lambda)} \sim \text{N}(\boldsymbol{x}_i^T\beta, \sigma^2), per i = 1,\dots,n osservazioni indipendenti.

Si scriva la log-verosimiglianza per (\lambda, \beta, \sigma^2), prestando particolare attenzione al termine jacobiano della trasformazione: da dove nasce e cosa comporterebbe la sua omissione? Si spieghi quindi come si ottiene la log-verosimiglianza profilo per \lambda e come viene utilizzata nella scelta della trasformazione. Si discutano infine i limiti di questo approccio.

Problema 2

Si consideri una regressione logistica per dati binari, in cui Y_{ij} \sim \text{Bernoulli}(\pi_i) sono variabili aleatorie indipendenti, con j = 1,\dots,m_i e i = 1,\dots,n, e in cui le unità che condividono lo stesso valore delle covariate \boldsymbol{x}_i possono essere raggruppate, ottenendo le variabili S_i = \sum_{j=1}^{m_i}Y_{ij} \sim \text{Binomiale}(m_i, \pi_i).

Si confrontino l’analisi condotta sui dati non raggruppati e quella condotta sui dati raggruppati. In particolare, si mostri che le stime di massima verosimiglianza di \beta e i relativi errori standard coincidono, mentre i valori della devianza sono diversi. Si spieghi il motivo di tale differenza, facendo riferimento al modello saturo nei due casi, e se ne discutano le conseguenze sull’utilizzo della devianza come misura della bontà di adattamento.

Problema 3

Si supponga di specificare soltanto i primi due momenti della variabile risposta, ossia \mathbb{E}(Y_i) = \mu_i, \qquad \text{var}(Y_i) = \phi \, v(\mu_i), \qquad g(\mu_i) = \boldsymbol{x}_i^T\beta, \qquad i = 1,\dots,n, senza assumere una specifica distribuzione di probabilità per Y_i.

Si illustri il concetto di quasi-verosimiglianza. In particolare, si scriva la funzione quasi-score e si verifichi che il suo valore atteso è nullo. Si chiarisca in che senso tale approccio generalizza la stima di massima verosimiglianza nei GLM e in quali casi le equazioni di stima coincidono. Si descriva infine come viene stimato il parametro di dispersione \phi e quali sono le conseguenze della sua introduzione sugli errori standard e sui test.