R per l’analisi statistica multivariata

Esame 30 Giugno 2021

Autore/Autrice
Affiliazione

Tommaso Rigon

Università degli Studi di Milano-Bicocca

Problema 1

La cosiddetta \mathcal{D} di Cohen è una statistica descrittiva molto utilizzata in Psicologia. Siano x_1,\dots,x_{n_x} e y_1,\dots,y_{n_y} due insieme di dati con numerosità campionarie n_x ed n_y, rispettivamente. Siamo interessati a stabilire se questi due insiemi differiscono in media in maniera sostanziale. A tal fine, definiamo la \mathcal{D} di Cohen come segue:

\mathcal{D} = \frac{|\bar{x} - \bar{y}|}{s}, \qquad \text{dove} \qquad \bar{x} = \frac{1}{n_x}\sum_{i=1}^{n_x}x_i, \qquad \bar{y} = \frac{1}{n_y}\sum_{i=1}^{n_y}y_i,

in cui s > 0 è una misura della variabilità dei dati. Assumendo che la variabilità sia uguale tra le due popolazioni di dati, è ragionevole porre ad esempio

s^2 = \frac{1}{n_x + n_y - 2}\left\{\sum_{i=1}^{n_x}(x_i - \bar{x})^2 + \sum_{i=1}^{n_y}(y_i - \bar{y})^2 \right\}.

L’ammontare della differenza tra le medie è spesso detta “debole” se \mathcal{D} \approx 0.2, “media” se \mathcal{D} \approx 0.5 e “forte” se \mathcal{D} \approx 0.8. Si considerino inoltre i seguenti insiemi di dati

x <- c(7.19, 8.27, 6.77, 6.65, 8.56, 6.56, 6.09)
y <- c(6.37, 6.27, 7.95, 6.52, 7.72, 6.92, 6.34, 7.51, 6.07, 8.09, 6.03)

  1. (3pt) Si scriva in R la funzione cohenD(x, y) che calcola l’indicatore \mathcal{D} di Cohen.

  2. (1pt) Utilizzando i dati forniti, si calcoli la \mathcal{D} di Cohen associata.

  3. (1pt) Si generino due insiemi dati x_1,\dots,x_{n_x} e y_1,\dots,y_{n_y} campionando dei valori indipendenti da una distribuzione normale con media e varianza N(0, 100) e con n_x = 500 e n_y = 2000. Si calcoli quindi la \mathcal{D} di Cohen associata. Il valore trovato suggerisce una differenza tra le medie “debole”?

  4. (1pt) Si generino due insiemi dati x_1,\dots,x_{n_x} e y_1,\dots,y_{n_y} campionandi dei valori indipendenti dalle distribuzioni normali N(0, 100) e N(10, 100), rispettivamente per le variabili x ed y, supponendo anche in questo caso che n_x = 500 e n_y = 2000. Si calcoli quindi la \mathcal{D} di Cohen. Il valore trovato suggerisce una differenza tra le medie “debole”?

  5. (4pt) Si effetti uno studio di simulazione nel quale i dati x ed y vengono generati varie volte come fatto nel punto precedente. Per ciascuna coppia di insiemi di dati x ed y, si calcoli la \mathcal{D} di Cohen associata. Si ripeta questa operazione R = 1000 volte, ottenendo quindi un vettore di dimensione 1000 che comprende i vari indici \mathcal{D} di Cohen. Si disegni un istogramma di tali valori.

Problema 2

Si ponga X_1 = 1. Si consideri una collezione di variabile casuali binarie ed indipendenti X_1,\dots,X_n, tali per per cui

\text{P}(X_i = 1) = \frac{\alpha}{\alpha + i - 1}, \qquad i = 2,\dots,n,

dove \alpha > 0 è un parametro positivo. Inoltre, si definisca

S = \sum_{i=1}^n X_i. Nota. La variabile S non si distribuisce come una binomiale, essendo somma di variabili Bernoulli con probabilità differenti.

  1. (4pt) Si scriva in R la funzione rS(R, n, alpha) che simula un R valori pseudo-casuali distribuiti come la variable S.

  2. (2pt) Utilizzando n = 100 e \alpha = 1, si ottenga una stima Monte Carlo del valore atteso \text{E}(S), utilizzando un numero di repliche R appropriato.

  3. (2pt) Utilizzando n = 500 e \alpha = \pi / 4, si ottenga una stima Monte Carlo dell’evento \text{P}(3 \le S \le 5), utilizzando un numero di repliche R appropriato.

  4. (2pt) 1. Utilizzando n = 500 e \alpha = \sqrt{2}, si ottenga una stima Monte Carlo della distribuzione di S e se ne faccia un grafico, utilizzando un numero di repliche R appropriato.

Problema 3

Si consideri il dataset Animals della libreria MASS e lo si carichi in memoria.

  1. (1pt) Si ottengano le variabili lbody e lbrain, corrispondenti al logaritmo naturale delle variabili body e brain del dataset Animals, rispettivamente.

  2. (1pt) Si ottengano le medie campionarie e le mediane per le variabili lbody e lbrain. Si ottengano quindi il primo ed il terzo quartile. Sono presenti outlier nelle due distribuzioni?

  3. (2pt) Si ottengano gli istogrammi di tali variabili, scegliendo opportunamente il numero di intervalli.

  4. (1pt) Si ottenga un grafico che metta in relazione le variabili lbody e lbrain.

  5. (1pt) Si calcoli la correlazione tra le variabili lbody e lbrain.

  6. (4pt) In un modello di regressione lineare semplice y = \alpha + \beta x, dove lbody rappresenta la variabile esplicativa (x) e lbrain rappresenta la variabile risposta (y), si ottengano le stime ai minimi quadrati, le quali sono pari a \hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x}, \qquad \hat{\beta} = \frac{\text{cov}(x,y)}{\text{var}(x)}.