2 + 2[1] 44 * (3 + 5) # La somma entro parentesi viene eseguita per prima[1] 32pi / 4 # Pi greco quarti[1] 0.7853982R per l’analisi statistica multivariata
Unità A: calcolo scientifico ed algebra lineare
Unità A
- A-B-C: il software R come calcolatrice scientifica
- Operazioni di routine: pulizia del workspace, simboli speciali
- Funzioni matematiche, grafico di una funzione, operazioni logiche
- Operazioni con vettori e matrici
Calcolatrice scientifica
Anzitutto, R può essere usato come se fosse una calcolatrice scientifica:
Per calcolare la potenza a^b si usa:
2^5 # Sintassi alternativa: 2**5[1] 32Le quantità \sqrt{2} e \sin(\pi/4) si ottengono invece con i comandi:
sqrt(2)[1] 1.414214sin(pi / 4)[1] 0.7071068Assegnazione di un valore
È possibile salvare un valore assegnandolo ad un oggetto tramite il simbolo <-.
# Assegna il valore 5 all'oggetto x
x <- sqrt(5) # Sintassi alternativa (sconsigliata): x = sqrt(5)Il valore contenuto in x può essere successivamente richiamato, modificato e salvato in un nuovo oggetto, chiamato ad esempio y.
y <- x + pi # ovvero pi greco + radice quadrata di 5
y[1] 5.377661Per rimuovere un oggetto dalla memoria, si usa il comando rm, ovvero remove.
rm(x) # x non è più presente nel "workspace"Pulizia del workspace
È buona norma mantenere pulito il workspace, ovvero l’ambiente di lavoro.
Se un oggetto non è più necessario, è possibile eliminarlo tramite il comando rm.
È possibile visualizzare la lista di oggetti salvati in memoria tramite il comando seguente:
ls() # Nel workspace è presente l'oggetto y[1] "has_annotations" "y" Pertanto, per eliminare tutti gli oggetti salvati, si può usare
rm(list = ls())Alcune funzioni matematiche I
Supponiamo che x sia un numero reale.
Ciò che seguono sono una lista di funzioni disponibili in R:
x <- 1/2 # Esempio di numero realeexp(x) # Esponenziale e logaritmo naturale[1] 1.648721log(x)[1] -0.6931472abs(x) # Valore assoluto[1] 0.5sign(x) # Funzione segno[1] 1Alcune funzioni matematiche II
sin(x) # Funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente)[1] 0.4794255cos(x)[1] 0.8775826tan(x)[1] 0.5463025asin(x) # Funzioni trigonometriche inverse[1] 0.5235988acos(x)[1] 1.047198atan(x)[1] 0.4636476Ulteriori funzioni matematiche I
Supponiamo che x e y siano due numeri reali. Inoltre, siano n e k due numeri naturali.
Si noti l’uso del ; che può essere usato per separare due comandi nella stessa riga.
x <- 1 / 2; y <- 1 / 3 # Numeri reali
n <- 5; k <- 2 # Numeri naturalifactorial(n) # n![1] 120choose(n, k) # Coefficiente binomiale[1] 10round(x, digits = 2) # Arrotonda x usando 2 cifre decimali[1] 0.5floor(x) # Arrotonda x all'intero più vicino, per difetto[1] 0ceiling(x) # Arrotonda x all'intero più vicino, per eccesso[1] 1Ulteriori funzioni matematiche II
La funzione gamma \Gamma(x) = \int_0^\infty s^{x-1} e^{-s} d s si calcola in R come segue:
gamma(x) # Funzione gamma[1] 1.772454La funzione beta \mathcal{B}(x,y) = \int_0^1 s^{x-1}(1-s)^{y-1}ds si calcola in R come segue:
beta(x, y) # Funzione beta[1] 4.206546Grafico di una funzione
In R è possibile disegnare una qualsiasi funzione tramite il comando curve.
Se ad esempio si considera la funzione f(x) = \frac{\sin(x)}{x}, allora possiamo disegnare f(x) nell’intervallo (0,15) come segue:
curve(sin(x) / x, from = 0, to = 15)
La documentazione ufficiale
La documentazione di R è la principale fonte di informazioni.
A cosa serve una funzione? Qual è la definizione dei suoi argomenti? La risposta va sempre cercata nella documentazione ufficiale e non in queste slide.
Il comando ? funzione apre una finestra in cui vengono descritta nel dettaglio una funzione. Esempio:
? log # Documentazione della funzione logSimboli speciali
Numeri molto grandi, come 10^{15}, e molto piccoli, come 10^{-15}, in R vengono rappresentati come segue:
10^15[1] 1e+1510^(-15)[1] 1e-15Per questioni di approssimazione numerica, quando un numero è troppo grande R riporta Inf, ovvero infinito. Per esempio:
10^1000 # Numero molto grande, anche se finito[1] InfIl simbolo NaN significa invece Not a Number e si ottiene quando qualche funzione matematica non è stata usata nel modo corretto. Ad esempio:
log(-1) # Questo comando genera inoltre un avvisoWarning in log(-1): NaNs produced[1] NaNErrori di approssimazione numerica
È ben noto che \sin(\pi) = 0. Tuttavia, in R si ottiene un numero molto vicino a 0, ma strettamente positivo. Infatti:
sin(pi)[1] 1.224647e-16R è uno strumento di calcolo numerico e pertanto sono sempre presenti errori di approssimazione numerica.
Fortunatamente, nella maggior parte dei casi pratici la differenza tra 0 e 10^{-16} è del tutto irrilevante.
In altre situazioni, errori di approssimazione numerica possono portare a conclusioni fuorvianti. Occorre quindi fare attenzione e valutare caso per caso.
Ad ogni modo, l’approssimazione numerica potrebbe anche migliorare. Ad esempio:
cos(pi)[1] -1Operazioni logiche
In R è spesso necessario verificare se una o più condizioni sono verificate o meno.
x <- 5
x < 0 # Il valore di x è minore di 0?[1] FALSEa <- (x == -3) # Il valore di x è uguale a -3?
a[1] FALSEIl valore di a è un indicatore binario o booleano, ovvero può essere vero (TRUE) oppure falso (FALSE).
Altre funzioni logiche disponibili (assumendo che y sia un numero e b un booleano) sono:
a <- TRUE; b <- FALSE; x <- 5; y <- 7
x >= y # x è maggiore o uguale a y? (Si usa "<=" per minore uguale)[1] FALSEx != y # x è diverso da y?[1] TRUEa & b # a AND b. I valori booleani a e b sono entrambi veri?[1] FALSEa | b # a OR b. Almeno uno tra a ed b è vero?[1] TRUEVettori
Un vettore in R viene definito tramite la funzione c(), come nel seguente esempio:
x <- c(4, 2, 2, 8, 10)
x[1] 4 2 2 8 10Il seguente oggetto è un vettore in R, nonostante l’oggetto x sia composto sia numeri che da lettere
x <- c("A", "B", 2, 8, 10)
x[1] "A" "B" "2" "8" "10"Creazione di vettori
Talvolta è comodo creare dei vettori i cui elementi sono dei numeri consecutivi
x <- 5:10 # Equivalente a: x <- c(5, 6, 7, 8, 9, 10)
x[1] 5 6 7 8 9 10Per creare una successione di numeri reali si usa il comando seq:
x <- seq(from = 0, to = 1, by = 0.1)
x [1] 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0Per creare un vettore di valori ripetuti si usa il comando rep:
x <- rep(10, 7) # Vettore in cui il numero 10 è ripetuto 7 volte
x[1] 10 10 10 10 10 10 10Operazioni sui vettori I
La maggior parte delle funzioni matematiche di R sono vettorizzate. In altri termini, le funzioni agiscono su tutti gli elementi di un vettore.
exp(1:6) + (1:6) / 2 + 1 # Esempio 1[1] 4.218282 9.389056 22.585537 57.598150 151.913159 407.428793x <- c(10, 10^2, 10^3, 10^4, 10^5, 10^6) # Esempio 2
log(x, base = 10)[1] 1 2 3 4 5 61:8 > 4 # Esempio 3[1] FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE TRUE TRUEAltre funzioni invece sono utili proprio nel caso in cui l’argomento sia un vettore:
x <- c(2, 3, 1, 3, 10, 5)
length(x) # Lunghezza del vettore[1] 6sum(x) # Somma degli elementi del vettore[1] 24cumsum(x) # Somme cumulate[1] 2 5 6 9 19 24Operazioni sui vettori II
Ulteriori semplici operazioni in cui l’argomento è un vettore sono elencate nel seguito:
x <- c(2, 3, 1, 3, 10, 5)
prod(x) # Prodotto degli elementi del vettore[1] 900cumprod(x) # Prodotti cumulati[1] 2 6 6 18 180 900sort(x, decreasing = FALSE) # Vettore ordinato in ordine crescente[1] 1 2 3 3 5 10min(x) # Valore minimo[1] 1which.min(x) # Posizione del valore corrispondente al minimo[1] 3Infine, il funzionamento delle seguenti funzioni dovrebbero essere intuibile da quanto visto finora:
max(x) # Valore massimo[1] 10which.max(x) # Posizione del valore corrispondente al massimo[1] 5range(x) # Equivalente a: c(min(x), max(x))[1] 1 10Operazioni sui vettori III
È possibile selezionare gli elementi di un vettore usando le parentesi quadrate, come nei seguenti esempi:
# Concatenazione di vettori
x <- c(rep(pi, 2), sqrt(2), c(10, 7))
x[3] # Estrae il terzo elemento dal vettore x, ovvero sqrt(2)[1] 1.414214x[c(1, 3, 5)] # Estrae il primo, il terzo ed il quinto elemento[1] 3.141593 1.414214 7.000000x[-c(1, 3, 5)] # Elimina il primo, il terzo ed il quinto elemento[1] 3.141593 10.000000x[x > 3.5] # Estrae gli elementi maggiori di 3.5[1] 10 7L’ultimo comando suggerisce che gli elementi di un vettore possono essere selezionati tramite una condizione relativa al vettore stesso.
Operazione sui vettori: avvertenze
Cosa succede quando vengono sommati due vettori di dimensioni diverse?
In questo primo esempio, quantomeno R restituisce un warning.
# Concatenazione di vettori
x <- 1:5
y <- 1:6
x + y # Equivalente a: c(x, x[1]) + yWarning in x + y: longer object length is not a multiple of shorter object
length[1] 2 4 6 8 10 7In questo secondo esempio, invece, R non restituisce alcun avviso, rendendo la cosa particolarmente pericolosa
x <- 1:3
y <- 1:6
x + y # Equivalente a: c(x, x) + y[1] 2 4 6 5 7 9Matrici
Una matrice {\bf A} è una collezione di elementi (a)_{ij} per i=1,\dots,n e j=1,\dots,m.
Per esempio, la matrice quadrata di dimensione 2 \times 2
{\bf A} = \begin{pmatrix}
5 & 2\\
1 & 4 \\
\end{pmatrix}, si può definire in R tramite il comando matrix come segue:
A <- matrix(c(5, 1, 2, 4), nrow = 2, ncol = 2)
A [,1] [,2]
[1,] 5 2
[2,] 1 4È inoltre possibile elencare gli elementi riga per riga
# Definizione equivalente
A <- matrix(c(5, 2, 1, 4), nrow = 2, ncol = 2, byrow = TRUE)Vettori riga e vettori colonna
Una matrice con una sola colonna è un vettore colonna:
x_col <- matrix(c(1, 10, 3, 5), ncol = 1)
x_col [,1]
[1,] 1
[2,] 10
[3,] 3
[4,] 5Una matrice con una sola colonna è un vettore riga:
x_row <- matrix(c(1, 10, 3, 5), nrow = 1)
x_row [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 10 3 5Vettori riga e vettori di R
Nella maggior parte dei casi, il vettore riga x_row è intercambiabile col vettore x.
x_row <- matrix(c(1, 10, 3, 5), nrow = 1)
x <- c(1, 10, 3, 5) # Simile, ma non identico, a x_rowAd esempio, le funzioni sum(x_row) e sum(x) forniscono lo stesso risultato.
Ci sono tuttavia alcune lievi distinzioni. Ad esempio:
dim(x_row)[1] 1 4dim(x)NULLIl simbolo NULL significa non definito, perché non esiste la nozione di dimensione per un generico vettore R.
Operazioni sulle matrici I
È possibile selezionare gli elementi di una matrice in maniera analoga a quanto fatto con i vettori.
A[1, 2] # Estrazione di elemento in posizione (1,2)[1] 2A[, 2] # Estrazione seconda colonna[1] 2 4A[1, ] # Estrazione prima riga[1] 5 2Alcuni comandi di base per manipolare le matrici sono i seguenti
dim(A) # Restituisce la dimensione della matrice[1] 2 2a <- c(A) # Converte la matrice in un vettore
a[1] 5 1 2 4diag(A) # Restituisce la diagonale della matrice[1] 5 4t(A) # Calcola la matrice trasposta A' [,1] [,2]
[1,] 5 1
[2,] 2 4sum(A) # Somma di tutti gli elementi di A[1] 12Operazioni sulle matrici II
Come per i vettori, le operazioni elementari (somma, prodotto, log, exp, etc.) vengono eseguite elemento per elemento.
exp(A) [,1] [,2]
[1,] 148.413159 7.389056
[2,] 2.718282 54.598150Siano {\bf A} e {\bf B} due matrici aventi lo stesso numero di colonne e definiamo
{\bf C} = \begin{pmatrix}{\bf A} \\ {\bf B} \end{pmatrix}.
B <- A # Creo una matrice B identica ad A, per semplicità
C <- rbind(A, B)
C [,1] [,2]
[1,] 5 2
[2,] 1 4
[3,] 5 2
[4,] 1 4In maniera analoga, siano {\bf A} e {\bf B} due matrici aventi lo stesso numero di righe e definiamo {\bf C} = \begin{pmatrix}{\bf A} & {\bf B} \end{pmatrix}.
C <- cbind(A, B)
C [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 5 2 5 2
[2,] 1 4 1 4Operazioni sulle matrici III
Siano {\bf x} e {\bf y} due vettori colonna in \mathbb{R}^p. Allora, il loro prodotto incrociato è pari a
{\bf x}^\intercal {\bf y} = \sum_{i=1}^p x_i y_i.
In R possiamo usare il comando crossprod
x <- matrix(c(-4, 2, 6, 10, 22), ncol = 1)
y <- matrix(c(3, 2, 2, 7, 9), ncol = 1)
crossprod(x, y) # Equivalente a: sum(x * y) [,1]
[1,] 272Il comando crossprod funziona correttamente anche con “vettori” R.
Il comando crossprod può essere usato anche per calcolare il seguente prodotto tra matrici
{\bf A}^\intercal {\bf B},
dove {\bf A} e {\bf B} sono due matrici di dimensioni compatibili.
Operazioni sulle matrici IV
In algebra lineare il prodotto tra matrici compatibili {\bf A} {\bf B} è chiamato prodotto righe per colonne. In R si usa il comando seguente
A <- rbind(c(1, 2, 3), c(4, 9, 2), c(2, 2, 2))
B <- rbind(c(5, 2, 5), c(3, 3, 7), c(-2, -8, 10))
A %*% B # Prodotto righe per colonne AB [,1] [,2] [,3]
[1,] 5 -16 49
[2,] 43 19 103
[3,] 12 -6 44Nota. Il comando A * B indica il prodotto elemento per elemento e non il prodotto righe per colonne.
Se le matrici non sono compatibili R produce un errore (provateci per esercizio!)
Operazioni sulle matrici V
Sia {\bf A} una matrice quadrata n \times n a valori reali. La sua matrice inversa {\bf A}^{-1}, quando esiste, è l’unica matrice tale per cui
{\bf A} {\bf A}^{-1} = {\bf A}^{-1} {\bf A} = I_n.
Per ottenere {\bf A}^{-1} si usa il comando solve.
A <- rbind(c(1, 2, 3), c(4, 9, 2), c(2, 2, 2))
A1 <- solve(A) # Matrice inversa di A
A1 [,1] [,2] [,3]
[1,] -0.5833333 -0.08333333 0.95833333
[2,] 0.1666667 0.16666667 -0.41666667
[3,] 0.4166667 -0.08333333 -0.04166667round(A %*% A1, digits = 5) # Operazione di controllo [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 0 1 0
[3,] 0 0 1det(A) # Calcola il determinante della matrice A[1] -24Operazioni sulle matrici VI
Nel caso una matrice non sia invertibile, il determinante è pari a 0. Il comando solve in quel caso produce un errore.
# Esempio di matrice NON invertibile
A <- rbind(c(1, 2, 3), c(2, 4, 6), c(2, 2, 2))
det(A) # Deteminante pari a 0, solve(A) produce un errore[1] 0Ci sono numerose funzioni per la scomposizione di matrici, il cui output è a volte una lista.
A <- matrix(c(4, 1, 1, 8), ncol = 2)
chol(A) # Scomposizione di Cholesky [,1] [,2]
[1,] 2 0.500000
[2,] 0 2.783882qr(A) # Scomposizione QR$qr
[,1] [,2]
[1,] -4.1231056 -2.910428
[2,] 0.2425356 7.518604
$rank
[1] 2
$qraux
[1] 1.970143 7.518604
$pivot
[1] 1 2
attr(,"class")
[1] "qr"eigen(A) # Scomposizione spettraleeigen() decomposition
$values
[1] 8.236068 3.763932
$vectors
[,1] [,2]
[1,] 0.2297529 -0.9732490
[2,] 0.9732490 0.2297529Liste
Una lista è una collezione di oggetti (numeri, vettori, matrici, etc).
Per salvare o per estrarre un oggetto da una lista si usa il simbolo del dollaro $.
# Creazione di una lista
new_list <- list(
A = matrix(c(4, 1, 1, 8), ncol = 2),
x = c(1, 2, 6, 6, 9)
)
new_list$A
[,1] [,2]
[1,] 4 1
[2,] 1 8
$x
[1] 1 2 6 6 9Esempio: la scomposizione spettrale
Gli autovalori ed autovettori di una matrice \textbf{A} si ottengono tramite il comando eigen.
Il risultato è una lista, contenente gli autovettori (vectors) e autovalori (values).
Spec_A <- eigen(A) # Scomposizione spettrale della matrice A
Spec_Aeigen() decomposition
$values
[1] 8.236068 3.763932
$vectors
[,1] [,2]
[1,] 0.2297529 -0.9732490
[2,] 0.9732490 0.2297529Spec_A$values # Estrazione degli autovalori[1] 8.236068 3.763932