Statistica I

Esame 31 Gennaio 2022

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Tommaso Rigon

DEMS

Esercizio 1

I seguenti dati provengono da uno studio condotto nel 1987 su un campione di donne in gravidanza. Dopo tre mesi di gravidanza, le donne nel campione hanno completato un questionario riguardante il consumo di alcolici, misurato come numero medio di drink al giorno. Dopo la nascita è stata registrata la presenza o l’assenza di malformazioni congenite nel bambino. I dati raccolti sono riassunti nella seguente tabella, che descrivono le frequenze assolute congiunte delle variabili alcolici e malformazione.

0 < 1 1 - 2 3 - 5 \ge 6
Assente 17066 14464 788 126 37
Presente 48 38 5 1 1

  1. Si calcolino, se possibile, media e mediana della variabile marginale alcolici. Si giustifichino opportunamente le eventuali assunzioni impiegate.

  2. Si confrontino i boxplot della variabile alcolici, assumendo che non assuma valori maggiori di 6, condizionatamente a ciascuna modalità della variabile malformazione.

  3. Si ottengano le distribuzioni condizionate della variabile malformazione, condizionatamente a ciascuna classe della variabile alcolici.

  4. Le variabili alcolici e malformazione sono dipendenti in distribuzione tra loro? Si giustifichi la risposta con adeguati indici e si commentino i risultati.

  5. Le variabili alcolici e malformazione sono dipendenti in mediana? Si proponga un indice per misurare il fenomeno, evidenziandone pregi e difetti, e si commentino i risultati.

Approfondimento (non presente all’esame)

I dati analizzati al punto precedente sono tratti dall’articolo scientifico Graubaurd and Korn (1987).

Esercizio 2

Viene registrato il peso del corpo (x) e il peso del cervello (y) di n=28 animali, misurato in chilogrammi e grammi, rispettivamente. Si definiscano inoltre le variabili trasformate z = \log(x) e w = \log(y). Alcuni grafici relativi alle variabili z e w sono riportati nel seguito.

  1. (Teoria). Si enunci la disuguaglianza di Jensen.

  2. Sulla base dei grafici precedenti, si ottengano dei valori approssimativi per le mediane di z e w. Si ottengano inoltre dei valori approssimativi per il primo ed il terzo quartile di queste variabili.

  3. Si calcolino quindi mediane, quartili e degli opportuni indici di variabilità per le variabili originarie x ed y.

  4. Si consideri il modello lineare w_i = \alpha + \beta z_i + \epsilon_i. Si ottengano le stime ai minimi quadrati per \alpha e \beta, sapendo inoltre che \sum_{i=1}^{28} z_i = 105.5965551, \quad \sum_{i=1}^{28} w_i = 123.9124786 \sum_{i=1}^{28} z_i^2 = 782.1185945, \quad \sum_{i=1}^{28} w_i^2 = 703.7949529, \quad \sum_{i=1}^{28} z_iw_i = 657.7151129.

  5. Si ottenga un opportuno indice di adattamento ai dati per il modello calcolato al punto precedente.

  6. Si discuta un possibile modello statistico che descriva la variabile peso del cervello (y) in funzione di peso del corpo (x). Si stimino eventuali parametri ignoti.

Esercizio 3

Siano f_1,\dots,f_k e g_1,\dots,g_k delle frequenze relative. Si assuma che f_j, g_j > 0 per ogni j=1,\dots,k. Quindi, si introduca l’indice

\text{KL} = \sum_{j=1}^k f_j \log\left(\frac{f_j}{g_j}\right).

  1. Si supponga che f_j = g_j, per ogni j=1,\dots,k. Quale valore assume l’indice KL?

  2. Si supponga che g_j = 1/k, per ogni j=1,\dots,k. A cosa corrisponde la quantità \alpha = (\log(k) - \text{KL}) in questo caso particolare?

  3. È possibile dimostrare che \text{KL} > 0 se f_j \neq g_j per almeno un valore di j=1,\dots,k. Si proponga quindi un’interpretazione per tale indice nel caso in cui f_1,\dots,f_k e g_1,\dots,g_k siano delle frequenze condizionate relative.